Question

已知数列{a_n}满足a_n=1，且a_n+1=2a_n+n-2×3^n-1-1，数列{b_n}的前n项和S_n=2ⁿ-1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设a_n+1+k•3ⁿ+tn+p=2[（a_n+k•3^n-1+t（n-1）+p]，k、t是常数，化简后由题意求出k、t、p的值，利用等比数列的定义和通项公式求出a_n；
（2）根据n=1时b₁的值、当n≥2时b_n=S_n-S_n-1的表达式，再验证a₁是否满足，求出{b_n}的通项公式．

解答： 解：（1）由题意设，a_n+1+k•3ⁿ+tn+p=2[（a_n+k•3^n-1+t（n-1）+p]，k、t是常数，
则a_n+1=2a_n-k•3^n-1+tn-2t+p，
因为a_n+1=2a_n+n-2×3^n-1-1，所以k=2、t=p=1，
则a_n+1+2•3ⁿ+n+1=2（a_n+2•3^n-1+n），

an+1+2•3n+n+1

an+2•3n-1+n

=2，
又a₁=1，所以a1+2•30-1+1=4，
则数列{an+2•3n-1+n}是以4为首项、2为公比的等比数列，
所以an+2•3n-1+n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
即an=2n+1-2•3n-1-n，
（2）由题意得，S_n=2ⁿ-1，当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-2^n-1+1=2^n-1，
当n=1时，b₁=1也适合上式，
所以b_n=2^n-1，
综上可得，an=2n+1-2•3n-1-n；b_n=2^n-1．

点评：本题考查数列递推式的转化，待定系数法、公式法求数列的通项公式，考查转化思想和灵活变形能力．