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    设定义在R的函数，R. 当时，取得极大值，且函数的图象关于点对称.

     （I）求函数的表达式；

     （II）判断函数的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间上，并说明理由；

     （III）设，（），求证：.

    （I）.

    （II）两点的坐标分别为或.

    （III）见解析


    解析:

    （I）将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，  

        ∴ 函数的图象关于点对称，即为奇函数. 

        ∴.                       ……………………………..2分

        由题意可得，解得.

        ∴.                          ……………………………..4分

       （II）存在满足题意的两点.                         ……………………………..6分

    由（I）得.

    假设存在两切点，，且.

    则.   

    ∵，∴或，

    即或. 

    从而可求得两点的坐标分别为或.

                                                      …………………………….9分

    （III）∵当时，，∴ 在上递减.

     由已知得，∴，即.

                                                      ……………………………..11分

    又时，；时，，

     ∴在上递增，在上递减.

    ∵，∴.  

    ∵，且，

    ∴.          ……………………………13分

    ∴.  ………………………..14分

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    1
    2
    )+f(1)+f(
    3
    2
    )+f(2)+f(
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    2
    )    =
     
    ．

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    		2
    ，
    		2
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    		2
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    4
    3
    |．

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    1
    2
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