Question

1．已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，且当x＞0时，f（x）=x²-2
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象并指出它的单调区间．
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据条件①变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到-x大于0，代入②中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；当x=0时f（x）=0；
（2）分段画出f（x）的图象．
（3）由图象可知函数的值域．

解答 解：（1）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定义域R内是奇函数，
所以f（0）=0
∵当x＞0时，f（x）=x²-2，
设x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-2，即f（x）=2-x²，
则 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，x＞0}\\{0，x=0}\\{2-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）函数f（x）的图象为：

（3）由图象可知，值域为R．

点评 此题要求学生掌握奇函数的性质及确定方法，考查了一元二次不方程的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．