Question

（2012•宁德模拟）在面积为S的正三角形ABC中，E是边AB上的动点，过点E作EF∥BC，交AC于点F，当点E运动到离边BC的距离为△ABC高的

1

2

时，△EFB的面积取得最大值为

1

4

S．类比上面的结论，可得，在各棱条相等的体积为V的四面体ABCD中，E是棱AB上的动点，过点E作平面EFG∥平面BCD，分别交AC、AD于点F、G，则四面体EFGB的体积的最大值等于

4

27

V．

Answer 1

分析：根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，中位线与中截面进行类比，进行猜想．

解答：解：根据几何体和平面图形的类比关系，
三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，中位线与中截面进行类比：
在面积为S的正三角形ABC中，当点E运动到离边BC的距离为△ABC高的

1

2

时，△EFB的面积取得最大值为

1

4

S．
类比上面的结论，可得，在各棱条相等的体积为V的四面体ABCD中，E是棱AB上的动点，过点E作平面EFG∥平面BCD，分别交AC、AD于点F、G，设AE=xAB（0＜x＜1），则四面体EFGB的体积V₁=x²（1-x）V=

1

2

x•x（2-2x）V≤

1

2

(

x+x+2-2x

3

)3V=

4

27

V，最大值等于V_{四面体EFGB}=V_{四面体AEFG}=

4

27

V．
故答案为：

4

27

．

点评：本题考察了立体几何和平面几何的类比推理，一般平面图形的边、面积分别于几何体中的面和体积进行类比，从而得到结论．