Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）设b_n=log₃|a_n|，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过4S_n=a_n+1与4S_n-1=a_n-1+1（n≥2）作差可知a_n=-$\frac{1}{3}$a_n-1，进而可知数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$、公比为-$\frac{1}{3}$的等比数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b_n=-n，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵4S_n=a_n+1，
∴4S_n-1=a_n-1+1（n≥2），
两式相减得：4a_n=a_n-a_n-1，
整理得：a_n=-$\frac{1}{3}$a_n-1，
又∵4a₁=a₁+1，即a₁=$\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$、公比为-$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=-$\frac{1}{9}$；
（Ⅱ）由（I）可知，b_n=log₃|a_n|=log₃$\frac{1}{{3}^{n}}$=-n，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．