如图甲,已知PA垂直于⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,点C为圆周上异于A、B的一点.
(1)若一个面体中有
个面是直角三角形,则称这个
面体的直度为
.那么四面体
的直度为多少?说明理由;
(2)在四面体
中,
,设
.若动点
在四面体
表面上运动,并且总保持
.设
为动点
的轨迹围成的封闭图形的面积关于角
的函数,求
取最大值时,二面角
的正切值.
解:(1)四面体的直度为1.
理由如下:由AB是⊙O的直径,点C为圆周上异于A、B的一点,故AC⊥BC, 从而底面为
△。又PA垂直于⊙O所在平面,有PA⊥AB,PA⊥AC,故△PAB、△PAC都为
△。又AC为PC在面ABC内的射影,由三垂线定理知PC⊥BC,故△PCB为
△。综上知四面体
的四个面都为
△,所以四面体
的直度为1. -----------------4分
(2)∵动点在四面体
表面上运动,并且总保持
,
∴动点的轨迹是过点A作PB的垂面与四面体
表面的交线围成的三角形。
如图乙:平面,并且平面
与四面体
的三个侧面分别交于AE、AF、EF.
易知即为二面角
的平面角.
∵AB是⊙O的直径,点C为圆周上异于A、B的一点,∴BC⊥AC
∵PA⊥面ABC,BC平面ABC,∴BC⊥PA,故BC⊥面PAC,∵AF
平面PAC,∴AF⊥BC.
又平面知AF⊥PB,∴AF⊥面PBC.又EF
平面PBC,AF⊥FE,则
为
△.
在△PAB中,
,
,则AE=
.
在△ACB中,
,
,有
.
又在△PAC中,
.
在中,
.
∴=
=
.
当且仅当时
.
此时.
故取最大值时二面角
的正切值为1.------------12分
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