Question

已知A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则椭圆的离心率（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：先假设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k₁|+|k₂|的最小值为1运用基本不等式的知识可得到当x₀=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，进而可求得离心率的值．

解答：解：设M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），A（-a，0），B（a，0）
k₁=

y0

x0+a

，k₂=

y0

a-x0

|k₁|+|k₂|=|

y0

x0+a

|+|

y0

a-x0

|≥2

| y0 x0+a |×| y0 a-x0 |

=2

y02 a2-x02

=1
当且仅当

y0

x0+a

=

y0

a-x0

，即x₀=0，y₀=b时等号成立
∴2

y02 a2-x02

=2

b

a

=1∴a=2b
又因为a²=b²+c²∴c=

3

2

 a
∴e=

c

a

=

3

2

故选C．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用．圆锥曲线是高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习．