Question

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）若平行于OA（O为坐标原点）的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|=3$\sqrt{5}$．求△AMN的面积．

Answer 1

分析 （1）点的坐标代入方程求出p即可得到抛物线方程．然后求解准线方程．
（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求出t，求出点到直线的距离，然后求解三角形面积．

解答 （10分）解：（1）将（1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=2p•1，所以p=2．
故抛物线方程为y²=4x，准线为x=-1．…（3分）
（2）设直线l的方程为y=-2x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²+2y-2t=0．∴y₁+y₂=-2，y₁y₂=-2t，…（5分）．
∵直线l与抛物线C有公共点，∴△=4+8t≥0，解得t≥-$\frac{1}{2}$．
由|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}\sqrt{4+8t}$=3$\sqrt{5}$得t=4，…（8分）
又A到直线l的距离为d=$\frac{4}{{\sqrt{5}}}$…（9分）
∴△AMN的面积为S=$\frac{1}{2}$|MN|﹒d=6．…（10分）

点评 本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．