Question

某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟来买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法．时间表明：礼品价值为1元时，销售量增加10％，且在一定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元(n∈N^*)时的销售量增加10％．

(1)写出礼品价值为n元时，利润y_n(元)与n(元)的函数关系；

(2)请你设计礼品的价值，以使商店获得最大利润．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设未赠礼品时的销售量为m件． 　　则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10％)n； 　　利润ym＝(100－80－n)·m·(1＋10％)n＝(20－n)·m·1.1n(0＜n＜20，n∈N*)． 　　(2)令yn+1－yn≥0，即(19－n)·m·1.1n+1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9． 　　所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y10， 　　令yn+1－yn+2≥0，即(19－n)·m·1.1n+1－(18－n)·m·1.1n+2≥0，解得n≥8． 　　所以y9＝y10＞y11＞y12＞y13＞…＞y19， 　　所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．

提示：

分析：第(1)问易得，第(2)问礼品的价值为多少时，使商店获取最大利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可．即yn+1－yn≥0且yn+1－yn+2≥0． 　　评注：本题根据题意可以建立两个关于x的指数函数模型，然后利用函数的最大项比它前面所有的值都大且比它后面所有的值都大，通过解不等式法比较函数增长的变化趋势．