Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，P是椭圆C上一点，PF₁与y轴的交点为M，O为坐标原点，若|PF₁|-|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，则|OM|：|PF₂|=1：2．

Answer 1

分析 运用椭圆的离心率公式和定义，可得|PF₁|=$\frac{4}{3}$a，|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，|F₁F₂|=2c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由勾股定理的逆定理和中位线定理，即可得到所求之比．

解答 解：由离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又|PF₁|-|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
解得|PF₁|=$\frac{4}{3}$a，|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
由|F₁F₂|=2c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，|PF₁|²=|F₁F₂|²+|PF₂|²，
即有PF₂⊥x轴，则OM∥PF₂，
即有OM为三角形PF₁F₂的中位线，
即有|OM|=$\frac{1}{2}$|PF₂|，
故答案为：1：2．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查三角形的勾股定理的逆定理和中位线定理，考查运算能力，属于中档题．