Question

（1）已知：a_n=sin（2n-1）α，求S_n．
（2）已知：a₁=1，a_n+1=2a_n+n，求{a_n}．
（3）已知：a=x+y，b=y+z，ab=（x+y）（y+z）=1，求x+2y+z的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,二维形式的柯西不等式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用“积化和差”、倍角公式即可得出．
（2）a_n+1=2a_n+n，当n≥2时，a_n=2a_n-1+（n-1），可得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+1，令b_n=a_n+1-a_n，则b_n=2b_n-1+1，化为b_n+1=2（b_n-1+1），
利用等比数列的通项公式可得b_n+1=3×2^n-1，可得a_n+1-a_n=3×2^n-1-1，再利用“累加求和”即可得出．
（3）利用基本不等式的性质可得x+2y+z=a+b≥2

ab

，即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁=sinα，a₂=sin3α，…，a_n=sin（2n-1）α，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=

2sin2θ+2sin3θsinθ+…+2sin(2n-1)θsinθ

2sinθ

=

(1-cos2θ)+(cos2θ-cos4θ)+…+(cos(2n-2θ)-cos2nθ)

2sinθ

=

1-cos2nθ

2sinθ

=

sin2(nθ)

sinθ

．
（2）∵a_n+1=2a_n+n，当n≥2时，a_n=2a_n-1+（n-1），∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+1，
令b_n=a_n+1-a_n，则b_n=2b_n-1+1，化为b_n+1=2（b_n-1+1），
∵a₂=2a₁+1=3，
∴b₁+1=a₂-a₁+1=3-1+1=3，
∴数列{b_n+1}是等比数列，
b_n+1=3×2^n-1，
∴bn=3×2n-1-1．
∴a_n+1-a_n=3×2^n-1-1，
∴当n≥2时，
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=3×

2n-1-1

2-1

-（n-1）
=3×2^n-1-n-2．
∴an=

3×2n-1-n-2，n≥2 1，n=1

．
（3）∵a=x+y＞0，b=y+z＞0，ab=（x+y）（y+z）=1，
∴x+2y+z=a+b≥2

ab

=2，当且仅当a=b=1时取等号，
∴x+2y+z的最小值是2．

点评：本题考查了三角函数的“积化和差”、倍角公式、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、基本不等式的性质、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．