Question

过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x²+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
（2）求证：直线PQ过定点；
（3）若a≠0，试求S_△APQ：|OA|的最小值．

Answer 1

解：（1）设切点P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁）
由题意可得，k_AP==，由导数的几何意义可得，k_AP=2x₁，
∴=2x₁，整理可得，同理可得﹣1=0，
从而可得x₁，x₂是方程x²﹣2ax﹣1=0的两根，
∴x=a±，k₁=，k₂=，
∴k₁k₂==﹣4，
即k₁k₂为定值﹣4．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y﹣y₁=2x₁（x﹣x₁），
则﹣y₁=2x₁（a﹣x₁）=2x₁a﹣2x₁²=2x₁a﹣2（y₁﹣1）
∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x²a+2，
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．
（3）即A（a，0）点到PQ的距离，
要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，
而A到直线PQ的距离d===≥，
当且仅当，即a²=时取等号，
∴最小值为．