Question

6．已知，函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-ax），函数g（x）=x²-2x+m．
（1）当a=1时，求x∈[0，1]时f（x）的最大值；
（2）若g（x）＜0在x∈（-1，2）恒成立，求m的取值范围；
（3）当a=3时，函数$h（x）={（\frac{1}{2}）^{f（x）}}-3g（x）$在x∈（0，1）有两个不同的零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由复合函数的单调性：同增异减，可得f（x）在x∈[0，1]单调递增，计算即可得到最大值；
（2）由题意可得x²-2x+m＜0在x∈（-1，2）恒成立，运用二次函数的性质，即可得到所求范围；
（3）由题意可得x²-x+m-1=0在x∈（0，1）有两个不同的解，设d（x）=x²-x+m-1，运用二次函数的图象和二次方程的分布，可得判别式大于0，d（0）＞0，d（1）＞0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）∵a=1，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-x）$在x∈[0，1]单调递增，
∴f_max（x）=f（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}2$=-1；
（2）g（x）＜0在x∈（-1，2）恒成立，
∴x²-2x+m＜0在x∈（-1，2）恒成立，
∴m＜-x²+2x=-（x-1）²+1，即有-x²+2x∈（-3，1]，
∴m≤-3；
（3）当a=3时，函数h（x）=3-3x-3x²+6x-3m
在x∈（0，1）有两个不同的零点．
∴3-3x-3x²+6x-3m=0，
∴x²-x+m-1=0在x∈（0，1）有两个不同的解，
设d（x）=x²-x+m-1，对称轴为x=$\frac{1}{2}$∈（0，1），
即有$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4（m-1）＞0}\\{d（0）=m-1＞0}\\{d（1）=m-1＞0}\end{array}\right.$，解得1＜m＜$\frac{5}{4}$．
故m的取值范围是（1，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性的运用和不等式恒成立问题的解法，同时考查函数和方程的转化思想的运用，属于中档题．