Question

设x₁，x₂（x₁≠x₂）使函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点
（1）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；  
（2）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，函数g（x）=f（x）'-a（x-x₁），求证：|g(x)|≤

3

4

a3+a2+

a

3

．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）求导数，得到导数f′（x）是关于x的二次函数．根据x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）的两个极值点，得到x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个不相等的实数根，然后利用根与系数的关系，建立方程组，并由这个方程组消去x₁，x₂得到关于a、b的关系式，通过这个关系式可得b关于a的函数表达式，从而得到b的最大值；
（2）用（1）中根与系数关系表达式，结合x₂=a，解得x 1=-

1

3

，且2b-3a²+a．由此代入g（x）=f（x）'-a（x-
x₁），得到g（x）的表达式是一个二次函数，它的图象是开口向上的抛物线，它的两个零点为-

1

3

和

3a2+a

3a

，且-

1

3

＜

3a2+a

3a

．因为x₁＜x＜x₂，所以g（x）的定义域为∈（-

1

3

，a）?（-

1

3

，

3a2+a

3a

），得到g（x）的值恒为负数．并且g（x）的最小值等于二次函数对称轴处的取值：g（

a

2

）=-(

3

4

a3+a2+

a

3

)，从而证出原不等式恒成立．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴函数f（x）的导数为f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数的两个极值点
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个不相等的实数根，得

x1+x2=- 2b 3a x1•x2 =- a 3

∵两根x₁，x₂之积为-

a

3

＜0
∴两根x₁，x₂之中一正一负，可得|x1|+|x2|=|x1-x2|=2 

2

平方，得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=8
即：(-

2b

3a

)  2+

4a

3

=8
整理，得4b²=72a²-12a³，其中a＞0
∴b²=18a²-3a³
记F（a）=18a²-3a³，得F′（a）=36a-9a²=9a（4-a）
令F′（a）＞0，得0＜a＜4，F′（a）＜0，得a＞4，
∴F（a）在区间（0，4）上为增函数，在区间（4，+∞）上为减函数
可得F（a）在（0，+∞）上的最大值为F（4）=96
∴b的最大值为

96

=4

6

（2）由（1）的根与系数的关系，结合x₂=a，得

x1+a=- 2b 3a x1•a  =- a 3

⇒

x1= - 1 3 2b=-3a2+a

∴f'（x）=3ax²+2bx-a²=3ax²+（-3a²+a）x-a²
∴g（x）=f'（x）-a（x-x₁）=3ax²+（-3a²+a）x-a²-a（x+

1

3

）
=3ax²-3a²x-a²-

1

3

a=（x+

1

3

）（3ax-3a²-a）
g（x）的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=

a

2

对称
它的两个零点为-

1

3

和

3a2+a

3a

，且-

1

3

＜

3a2+a

3a

∵x₁＜x＜x₂即x∈（-

1

3

，a），a＜

3a2+a

3a

=a+

1

3

∴g（x）＜0且g（x）的最小值为g（

a

2

）=-(

3

4

a3+a2+

a

3

)
∴不等式|g(x)|≤

3

4

a3+a2+

a

3

恒成立．

点评：本题着重考查函数在某点取得极值的条件、利用导数求闭区间上函数的最值等知识点，属于难题．在解题过程中还用到了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系和函数的值域等解题方法，是一道综合性较强的题．