Question

已知双曲线C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且，证明：λ+e²=1；
（3）设P是点F₁关于直线l的对称点，当△PF₁F₂为等腰三角形时，求e的值．

Answer 1

解：（1）证明：因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，
所以点A、B的坐标分别是，B（0，a），
解整理得 x²+2cx+c²=0，解得即，
所以直线l与双曲线C只有一个公共点、…（3分）
（2）因为，所以．
所以，，即λ+e²=1…（6分）
（3）（ⅰ）因为直线AB为F₁P的中垂线，而F₂不在直线AB上（点A与F₂不重合），
所以|F₂F₁|≠|F₂P|；…（7分）
（ⅱ）若|F₂F₁|=|F₁P|，则，
所以，整理得3c²=a²，所以，不符合题意．…（9分）
（ⅲ）若|PF₂|=|PF₁|，则点P在y轴上，设P（0，y_p），则，
所以y_P=-a，即P（0，-a），
设N是PF₁的中点，则，代入直线l的方程，得，
整理得c²=3a²，e²=3，所以．…（12分）
综上，当△PF₁F₂为等腰三角形时，．
分析：（1）首先求出A、B两点坐标，然后联立直线方程和双曲线方程，并利用韦达定理得出只有一个公共点及坐标；
（2）根据点的坐标以及，得出，，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论）（ⅰ）因为直线AB为F₁P的中垂线，而F₂不在直线AB上（点A与F₂不重合）不符合题意；（ⅱ）当|F₂F₁|=|F₁P|时，得出，整理得，不符合题意；（ⅲ）当|PF₂|=|PF₁|时，设出p点坐标得出，，进而求出P点坐标和PF₁的中点坐标代入直线方程即可求出e．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．