Question

设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求在点（2，f（2））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（Ⅱ）由函数y₁=x，都是奇函数．可得和函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．再按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）先在曲线上任取一点．利用导数求出过此点的切线方程为，令x=1得切线与直线x=1交点．令y=x得切线与直线y=x交点．从而利用面积公式求得所围三角形的面积为定值．
解答：解：（Ⅰ），
于是
解得或
因a，b∈Z，故．
（Ⅱ）证明：已知函数y₁=x，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而．可知，函数g（x）的图象按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为．
令x=1得，切线与直线x=1交点为．
令y=x得y=2x-1，切线与直线y=x交点为（2x-1，2x-1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2．
点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．