Question

6．函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：当x≥1时，$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题转化为$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$≥x+1，求出x+1的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）_极大值=f（1）=1；
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：x≥1时，$\frac{1+lnx}{x}$的最小值是1，
故$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$≥x+1≥2，
故原不等式得证．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．