Question

已知等差数列{a_n}中，a₂=2，a₄=4，各项为正数的等比数列{b_n}中，b₁=1，b₁+b₂+b₃=7．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知c_n=

an

bn

=

n

2n-1

，利用“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，设其公差为d，首项为a₁，
∵a₂=2，a₄=4，
∴

a1+d=2 a1+3d=4

，
解之得a₁=d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，
由各项为正数的等比数列{b_n}中，公比设为q，q＞0．
b₁=1，b₁+b₂+b₃=7．
可得1+q+q²=7，
解得q=2．
∴b_n=2^n-1．
（2）由（1）知c_n=

an

bn

=

n

2n-1

，
∴S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
∴

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
两式相减可得：

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

，
∴S_n=4-

2+n

2n-1

．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．