Question

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形中位线定理，平行四边形判定及性质，结合线面平行的判定定理，可得当F为CE中点时，恰有直线BF∥平面ACD；
（2）取AD中点G，连接CG、EG，则∠CEG即为直线CE与平面ABED所成的角，解三角形CEG可得答案．

解答：解：如图所示：
（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连接FH，则FH∥=

1

2

ED，
∴FH∥=AB，…3分
∴四边形ABFH是平行四边形，
∴BF∥AH，
由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，
∴BF∥平面ACD；…6分
（2）取AD中点G，连接CG、EG，则CG⊥AD，
又平面ABED⊥平面ACD，
∴CG⊥平面ABED，
∴∠CEG即为直线CE与平面ABED所成的角，…9分
设为α，则在Rt△CEG中，
有sinα=

CG

CE

=

3

2 2

=

6

4

．   …12分．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的性质，二面角，（1）的关键是在平面ACD中找到一条与BF平行的直线，而（2）的关键是求出二面角的平面角．