Question

通过点A（0，a）的直线y=kx+a与圆（x-2）²+y²=1相交于不同的两点B、C，在线段BC上取一点P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，设点B在点C的左边，
（1）试用a和k表示P点的坐标；
（2）求k变化时P点的轨迹；
（3）证明不论a取何值时，上述轨迹恒过圆内的一定点．

Answer 1

分析：（1）利用|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，建立方程，可求P的横坐标，直线方程代入圆方程，利用韦达定理，即可得到P点的坐标；
（2）由x，y的表达式中消去k，即可得到P点的轨迹；
（3）确定点M在圆内，即可得到结论．

解答：（1）解：设B（x₁，y₁），c（x₂，y₂），P（x，y），
依题意知，

|BP|

|PC|

=

x-x1

x2-x

，

|AB|

|AC|

=

x1

x2

，
∴

x-x1

x2-x

=

x1

x2

，∴x=

2x1x2

x1+x2

…（4分）
由直线方程代入圆方程，整理得，（1+k²）x²+（2ak-4）x+（a²+3）=0
由x1+x2=

4-2ak

1+k2

，x1x2=

a2+3

1+k2

代入x=

2x1x2

x1+x2

得x=

a2+3

2-ak

，y=k

a2+3

2-ak

+a=

3k+2a

2-ak

…（6分）
（2）解：由x，y的表达式中消去k得2x-ay-3=0，
∴点P的轨迹是直线2x-ay-3=0在圆内的部分．…（8分）
（3）证明：直线2x-ay-3=0恒过定点M（

3

2

，0），点M到圆心C（2，0）的距离|MC|=

1

2

＜r=1，
∴该点在圆内
∴P点的轨迹恒过圆内的一定点  …（10分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．