Question

已知椭圆

x2

4

+y²=1，F₁、F₂是其左、右两焦点，直线l：y=x+3，试在直线l上找一点P，使得∠F₁PF₂最大，并求出P点的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,数形结合,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据平面几何知识知，当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂的圆与直线l相切，此时圆心在y轴上，设坐标为C（0，t），则由直线和圆相切得到d=r，求得圆心坐标，再由切线的性质求得CP的方程，联立直线l方程，即可得到交点P．

解答： 解：椭圆

x2

4

+y²=1的左、右焦点分别为
F₁（-

3

，0）、与F₂（

3

，0）．
如图，根据平面几何知识知，
当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂的圆与直线l相切，
此时圆心在y轴上，设坐标为C（0，t），
则由直线和圆相切得到d=r，
即有

|0+3-t|

2

=

3+t2

，解得t=-3±2

3

，
通过图象观察取t=-3+2

3

，即有C（0，2

3

-3），
由CP⊥l，得直线CP：y=-x+2

3

-3，
联立直线l：y=x+3，解得交点P（

3

-3，

3

）．
故当P点的坐标为（

3

-3，

3

）时，使得∠F₁PF₂最大．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．