Question

（1）已知直线l过点P（3，4），它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．
（2）求与圆C：x²+y²-2x+4y+1=0同圆心，且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）分直线l过原点与不过原点两种情况加以讨论，分别求出直线的斜率和在轴上的截距，即可求得直线l的方程．
（2）由圆的标准方程，得所求圆的圆心坐标为C（1，-2），再由点到直线的距离算出C到直线2x-y+1=0的距离等于

5

，即得所求圆的半径，从而求出所求圆的标准方程．

解答：解：（1）①当直线l过原点时，斜率k=

4

3

，
直线方程为y=

4

3

x．…（2分）
②当直线l不过原点时，设直线方程为

x

a

+

y

2a

=1
可得

3 a + 4 2a =1

，解之得a=5，
所以直线方程为2x+y=10
综上所述，所求直线l方程为y=

4

3

x或2x+y=10．…（4分）
（2）∵圆C：

x2+y2-2x+4y+1=0，

∴化成标准形式得

(x-1)2+(y+2)2=4，

可得圆心为C（1，-2），
即所求圆的圆心坐标也是（1，-2），
又∵所求的圆与直线

2x-y+1=0

相切，
∴所求圆的半径

r= |2+2+1| 4+1 = 5

由此可得：所求圆的方程为

(x-1)2+(y+2)2=5

．…（8分）

点评：本题求满足条件的直线方程和圆方程．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．