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(2009•成都二模)已知数列{an}中,a1=
2
3
,a2=
8
9
且当n≥2,n∈N时,3a n+1=4a-a n-1
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记
n
i=1
ai=a1•a2•a3…an,n∈N*
(1)求极限
lim
n→∞
n
i=1
(2-2 i-1
(2)对一切正整数n,若不等式λ
n
i=1
ai>1(λ∈N*)恒成立,求λ的最小值.
分析:(I)因为数列{an}不是特殊的数列,所以可用构造法,构造一个新数列,使其具有一定的规律.通过观察,可以发现,3(a n+1-a n)=a n-a n-1则新数列为等比数列,求出新数列的通项公式,再根据新数列的通项公式叠加求数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)①
lim
n→∞
n
i=1
(2-a i-1)=
lim
n→∞
(1+
1
3
)(1+
1
3 2
)(1+
1
3 4
)…(1+
1
3 2n-1
)=
lim
n→∞
(1-
1
3
)(1+
1
3
)(1+
1
3 2
)(1+
1
3 4
)…(1+
1
3 2n-1
)
1-
1
3
,再对分子进行化简即可得出答案;
②λ
n
i=1
ai>1(λ∈N*)恒成立?λ(1-
1
3
)(1-
1
3 2
)(1-
1
3 3
)…(1-
1
3 n
)>1.下面利用数学归纳法证明(1-
1
3
)(1-
1
3 2
)(1-
1
3 3
)…(1-
1
3 n
)>1-
n
i=1
1
3 k
,从而得出λ的最小值.
解答:解:(I)a1=
2
3
,a2=
8
9
且当n≥2,n∈N时,3a n+1=4a-a n-1
∴3(a n+1-a n)=a n-a n-1
∴an-a n-1=
1
3
(a n-1-a n-2)=
1
3 2
(a n-2-a n-3)=…=
2
 n-2 
(a 2-a 1)=
2
3 n

叠加,得an-a1=2(
1
3 2
+
1
3 3
+…+
1
3 n

故所求的通项公式为an=1-
1
3 n
,(n∈N*
(Ⅱ)①
lim
n→∞
n
i=1
(2-a i-1)=
lim
n→∞
(1+
1
3
)(1+
1
3 2
)(1+
1
3 4
)…(1+
1
3 2n-1

=
lim
n→∞
(1-
1
3
)(1+
1
3
)(1+
1
3 2
)(1+
1
3 4
)…(1+
1
3 2n-1
)
1-
1
3
=
lim
n→∞
1-
1
3 2n
2
3
=
3
2

②λ
n
i=1
ai>1(λ∈N*)恒成立?λ(1-
1
3
)(1-
1
3 2
)(1-
1
3 3
)…(1-
1
3 n
)>1

下面证明(1-
1
3
)(1-
1
3 2
)(1-
1
3 3
)…(1-
1
3 n
)>1-
n
i=1
1
3 k


(i)当n=1时,不等式成立;
当n=2时,左边=(1-
1
3
)(1-
1
3 2
)=
16
27

右边=1-(
1
3
+
1
3 2
)=
15
27

左边>右边,不等式成立.
(ii)假设当n=k时,(1-
1
3
)(1-
1
3 2
)(1-
1
3 3
)…(1-
1
3 k
)≥1-(
1
3
+
1
3 2
+…+
1
3 k

成立.
则当n=k+1时,,(1-
1
3
)(1-
1
3 2
)(1-
1
3 3
)…(1-
1
3 k
)(1-
1
3 k+1

≥[1-(
1
3
+
1
3 2
+…+
1
3 k
)(1-
1
3 k+1
)=(
1
2
+
1
2×3 k
)(1-
1
3 k+1
)>
1
2
+
1
2×3 k+1

又1-(
1
3
+
1
3 2
+…+
1
3 k
+
1
3 k+1
)=1-
1-
1
3 k+1
2
=
1
2
+
1
2×3 k+1

∴当n=k+1时,不等式也成立.
综上(i)、(ii)可知,(1-
1
3
)(1-
1
3 2
)(1-
1
3 3
)…(1-
1
3 n
)>1-
n
i=1
1
3 k
成立.
对一切正整数n,不等式λ
n
i=1
ai>1(λ∈N*)恒成立
?1-
n
i=1
1
3 k
1
λ
恒成立
lim
n→∞
(1-
n
i=1
1
3 k
)=
lim
n→∞
[
1
2
+
1
2
1
3
n]=
1
2

∴1-
n
i=1
1
3 k
1
2

故只需
1
2
1
λ
,∴λ≥2
而λ∈N*
∴λ的最小值为2.
点评:本小题主要考查数列递推式、数列的函数特性、数列的极限、数学归纳法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.
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