分析:(I)因为数列{a
n}不是特殊的数列,所以可用构造法,构造一个新数列,使其具有一定的规律.通过观察,可以发现,3(a
n+1-a
n)=a
n-a
n-1则新数列为等比数列,求出新数列的通项公式,再根据新数列的通项公式叠加求数列{a
n}的通项公式.
(Ⅱ)①
n |
|
i=1 |
(2-a
i-1)=
(1+
)(1+
)(1+
)…(1+
)=
,再对分子进行化简即可得出答案;
②λ
n |
|
i=1 |
a
i>1(λ∈N
*)恒成立?λ(1-
)(1-
)(1-
)…(1-
)>1.下面利用数学归纳法证明(1-
)(1-
)(1-
)…(1-
)>1-
n |
|
i=1 |
,从而得出λ的最小值.
解答:解:(I)a
1=
,a
2=
且当n≥2,n∈N时,3a
n+1=4a-a
n-1
∴3(a
n+1-a
n)=a
n-a
n-1
∴a
n-a
n-1=
(a
n-1-a
n-2)=
(a
n-2-a
n-3)=…=
(a
2-a
1)=
,
叠加,得a
n-a
1=2(
+
+…+
)
故所求的通项公式为a
n=1-
,(n∈N
*)
(Ⅱ)①
n |
|
i=1 |
(2-a
i-1)=
(1+
)(1+
)(1+
)…(1+
)
=
=
=
.
②λ
n |
|
i=1 |
a
i>1(λ∈N
*)恒成立?λ(1-
)(1-
)(1-
)…(1-
)>1
下面证明(1-
)(1-
)(1-
)…(1-
)>1-
n |
|
i=1 |
(i)当n=1时,不等式成立;
当n=2时,左边=(1-
)(1-
)=
右边=1-(
+
)=
左边>右边,不等式成立.
(ii)假设当n=k时,(1-
)(1-
)(1-
)…(1-
)≥1-(
+
+…+
)
成立.
则当n=k+1时,,(1-
)(1-
)(1-
)…(1-
)(1-
)
≥[1-(
+
+…+
)(1-
)=(
+
)(1-
)>
+
又1-(
+
+…+
+
)=1-
=
+
∴当n=k+1时,不等式也成立.
综上(i)、(ii)可知,(1-
)(1-
)(1-
)…(1-
)>1-
n |
|
i=1 |
成立.
对一切正整数n,不等式λ
n |
|
i=1 |
a
i>1(λ∈N
*)恒成立
?1-
n |
|
i=1 |
>恒成立
(1-
n |
|
i=1 |
)=
[
+
(
)
n]=
∴1-
n |
|
i=1 |
>
故只需
≥
,∴λ≥2
而λ∈N
*.
∴λ的最小值为2.
点评:本小题主要考查数列递推式、数列的函数特性、数列的极限、数学归纳法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.