Question

设向量=（0，2），=（1，0），过定点A（0，-2），以+λ方向向量的直线与经过点B（0，2），以向量-2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过E（1，0）的直线l与C交于两个不同点M、N，求•的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x，y），∵=（0，2），=（1，0），∴+λ=（λ，2），-2λ=（1，-4λ），
过定点A（0，-2），以+λ方向向量的直线方程为：2x-λy-2λ=0，
过定点B（0，2），以-2λ方向向量的直线方程为：4λx+y-2=0，
联立消去λ得：8x²+y²=4∴求点P的轨迹C的方程为8x²+y²=4．
（Ⅱ）当过E（1，0）的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，
∴设直线l的方程为：y=k（x-1），l与曲线C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由?（k²+8）x²-2k²x+k²-4=0，则，
又=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂），
∴•=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（1+k²）（x₁+x₂）+1+k² =（1+k²）（-+1）==4-，
∵0≤k²＜8，∴•的取值范围是[，）．
分析：（Ⅰ）设P（x，y），求得过定点A（0，-2），以+λ方向向量的直线方程，以及过定点B（0，2），以-2λ方向向量的直线方程，消去λ即得点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）用点斜式设直线l的方程，代入曲线C的方程得到根与系数的关系，判别式大于零，代入• 的式子化简，求得 •的取值范围．
点评：本题考查求点的轨迹方程，一元二次方程根与系数的关系，两个向量的数量积公式，化简•是解题的难点．