Question

(2009湖北卷理) （本小题满分14分）

过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。            

（Ⅰ）当时，求证：⊥；

（Ⅱ）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解析:

解  依题意，可设直线MN的方程为，

则有

由    ，消去x可得                   

从而有                                             ①

于是                           ②

又由，可得         ③

（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线

此时 ①可得

证法1：

      

证法2：

                   

(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：

证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有

                   

将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立，即对任意成立                  

证法2：如图2，连接,则由可得

,所以直线经过原点O，

同理可证直线也经过原点O

又设则