Question

设

a

=(x，1)，  

b

=(2，-1)，  

c

=(x-3，2)，其中x∈R．
（1）若

a

与

b

的夹角为钝角，求x的取值范围；
（2）解关于x的不等式|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|．

Answer 1

分析：（1）当

a

∥

b

时，求得 x=-2．设

a

与

b

的夹角为θ，则由题意可得 cosθ＜0，解得 x＜

1

2

．由此求得当

a

与

b

的夹角为钝角时 x的取值范围．
（2）先求出|

a

+

c

|和|

a

-

c

| 的解析式，不等式化为 （2x-3）²+9＜9+1，即|2x-3|＜1，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）当

a

∥

b

时，由

x

2

=

1

-1

，可得 x=-2． 
设

a

与

b

的夹角为θ，则由题意可得 cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

2x-1

x2+1 • 5

＜0，解得 x＜

1

2

．
若

a

与

b

的夹角为钝角，则有x＜

1

2

 且  x≠-2，即 x的取值范围为{x|x＜

1

2

 且  x≠-2}．
（2）∵|

a

+

c

|=

(2x-3)2+9

，|

a

-

c

|=

32+1

，
故关于x的不等式|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|，即 （2x-3）²+9＜9+1，
∴（2x-3）²＜1，即|2x-3|＜1，即-1＜2x-3＜1，解得1＜x＜2，故不等式的解集为{x|1＜x＜2}．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，解绝对值不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．