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已知数列{f(n)}满足nf2(n)-(n-1)f2(n-1)+f(n)f(n-1)=0且f(n)>0
(1)求{f(n)}的通项公式;
(2)令an=31/f(n),bn=4/f(n)+1(n∈N*),若在数列{an}的前100项中,任取一项an,问an
时也在数列是的某项的概率为多少?为什么?
(3)若将(2)中的前100项推广到前n项(n∈N*),且记上述概率为Pn,试猜测
limn→∞
Pn
(不必证明).
分析:(1)先将足nf2(n)-(n-1)f2(n-1)+f(n)f(n-1)=0化简成(nf(n)-(n-1)f(n-1))(f(n)+f(n-1))=0,而f(n)>0则nf(n)=(n-1)f(n-1),最好根据f(1)=1可求出{f(n)}的通项公式;
(2)先求出{an}、{bn}的通项公式,然后讨论n的奇偶,从而可求出在数列{an}的前100项中,任取一项an,则an同时也在数列是的某项的概率;
(3)分别求出当n为奇数时与偶数时的概率Pn,然后根据极限的定义求出
lim
n→∞
Pn
的值即可.
解答:解:(1)由已知(nf(n)-(n-1)f(n-1))(f(n)+f(n-1))=0且f(n)>0
∴nf(n)=(n-1)f(n-1),
∴nf(n)=(n-1)f(n-1)=…=1•f(1)=1∴f(n)=
1
n

(2)an=3n,bn=4n+1,当n=2m,∴an=9m=(8+1)m=…=8Q+1=4(2Q)+1∈{bn}
当n=2m+1,∴an=3(8+1)m=…=4(6Q)+3∉{bn}∴在{an}中前100项中,所求的概率P=
50
100
=
1
2

(3)∵Pn=
1
2
n-1
2n
(n为偶数)
(n为奇数)
lim
n→∞
Pn=
1
2
点评:本题主要考查了数列的通项公式,等可能事件的概率和数列的极限等有关知识,属于中档题.
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