Question

在数列{}中，，并且对任意都有成立，令．

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}的前n项和为，证明：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（I）、当n=1时，先求出b₁=3，当n≥2时，求得b _n+1与b_n的关系即可知道b_n为等差数列，然后便可求出数列{b_n}的通项公式；

（II）根据（I）中求得的b_n的通项公式先求出数列{}的表达式，然后求出T_n的表达式，根据不等式的性质即可证明<T_n＜

解：（Ⅰ）当n=1时，,当时，

由得所以------------4分

所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，

所以数列的通项公式为-------------5分

（Ⅱ）------------------------------------7分

-------------------11分

可知Tn是关于变量n的增函数，当n趋近无穷大时，的值趋近于0，

当n=1时Tn取最小值，故有----------------14分

考点：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列与不等式的结合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题

点评：解决该试题的关键是运用整体的思想来表示出递推关系，然后进而利用函数的单调性的思想来放缩得到证明。