Question

（2011•湖南模拟）定义一种运算：（la_t-1a_t-2…a₂a₁a₀）=2^t+a_t-1×2^t-1+a_t-2×2^t-2+…+a₁×2+a₀，其中a_k∈{0，1}（k=0，1，2，3，…，t-1），给定x₁=（la_t-1a_t-2…a₂a₁a₀），构造无穷数列{x_k}：x₂=（la₀a_t-1a_t-2…a₂a₁），x₃=（la₁a₀a_t-1a_t-2…a₃a₂），x₄=（la₂a₁a₀a_t-1a_t-2…a₄a₃），…，
（1）若x₁=30，则x₄=

29

；（用数字作答）
（2）若x₁=2^2m+3+2^2m+2+2^2m+1+1（m∈N⁺），则满足x_k=x₁（k≥2，k∈N⁺）的k的最小值为

2m+4

．（用m的式子作答）

Answer 1

分析：（1）根据定义将30化为30=2⁴+1×2³+1×2^2₊₁×2，两式对应项的系数相等，得出x₁=（11110），得出x₄=（11101）后，求出其值
（2）由已知，x₁=（111000…1）（括号中共2m+4个数字），按照定义，逐项列举各项，寻找出规律，求出k的最小值．

解答：解：（1）由于x₁=（la_t-1a_t-2…a₂a₁a₀）=2^t+a_t-1×2^t-1+a_t-2×2^t-2+…+a₁×2+a₀，
而30=2⁴+1×2³+1×2^2₊₁×2，
两式对应项的系数相等，
所以x₁=（11110）
根据定义得出
x₂=（10111）
x₃=（11011）
x₄=（11101）
∴x₄=2⁴+1×2³+1×2^2₊1=29．
（2）若x₁=2^2m+3+2^2m+2+2^2m+1+1，则
x₁=（111000…1）（括号中共2m+4个数字）
x₂=（111000…0）
 x₃=（101110…0）
…
逐步变换最少经过2m+3次变换即到达x_2m+4时，重复出现
k的最小值为2m+4．
故答案为：29    2m+4

点评：本题考查阅读理解、分析计算能力，是以二进制内容为素材，以数列为载体的题目．属于中档题．