Question

给出下列四个命题，则其中正确命题的序号为

（1）（2）（3）

（1）存在一个△ABC，使得sinA+cosA=1
（2）在△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
（3）在△ABC中，若a=

3

，C=30°，c=1，则△ABC为直角三角形或等腰三角形
（4）在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）当A为直角时，可得sinA和cosA的值，进而得到sinA+cosA=1，故存在一个三角形满足sinA+cosA=1；
（2）可先证充分性，由，“A＞B”推导“sinA＞sinB”，分A是锐角与A不是锐角两类证明即可；再证必要性，由于在（0，π）上正弦函数不是单调函数，可分两类证明，当A是钝角时，与A不是钝角时，易证，再由充分条件必要条件的定义得出正确选项即可；
（3）由C的度数求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理求出sinA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再由C的度数，利用三角形的内角和定理求出B的度数，进而判断出三角形的形状，可得本选项正确与否；
（4）在△ABC中，若sin2A=sin2B，可得2A与2B相等或互补，进而得到A与B相等或互余，可得三角形为等腰三角形或直角三角形，从而得到本选项错误．

解答：A解：（1）若A=90°，则有sinA=1，cosA=0，满足sinA+cosA=1，
故存在存在一个△ABC，使得sinA+cosA=1，即本选项正确；
（2）1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π-A
若A，B都是锐角，显然有“sinA＞sinB”成立，
若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π-A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，此时有sin（π-A）=sinA＞sinB
综上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分条件；
2°研究sinA＞sinB，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，
综上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要条件
综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，
本选项正确；
（3）∵a=

3

，C=30°，c=1，
∴根据正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：sinA=

asinC

c

=

3

2

，
又A为三角形的内角，∴A=60°或120°，
当A=60°时，由C=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形；
当A=120°时，由C=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，
则△ABC为直角三角形或等腰三角形，本选项正确；
（4）∵sin2A=sin2B，且A和B都为三角形的内角，
∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，本选项错误，
综上，正确命题的序号为（1）（2）（3）．
故答案为：（1）（2）（3）

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，充分必要条件的证明，等腰及直角三角形的判断，以及特殊角的三角函数值，利用了分类讨论的数学思想，是一道综合性较强的中档题．