Question

（1）已知展开式中前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项和一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来．
（2）设，
①用q和n表示A_n；
②求证：当q充分接近于1时，充分接近于．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得展开式的通项公式，根据展开式中前3项系数的和为129，求得n的值，令x的幂指数等于零，自然数r无解，可得展开式中无常数项．令x的幂指数等于1，解得自然数r=6，由此可得展开式的一次项．
（2）①先求得 a_n=1+q+q²+…+q^n-1=，可得A_n =[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]，再利用二项式系数的性质化简为[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
②由①求得 ，当q充分接近于1时，接近于0，由二项式定理知充分接近于，可得充分接近，命题得证．
解答：解：（1）二项式的展开式的通项公式为 T_r+1=••2^r•=•，
展开式中前3项系数的和为 ++=129，解得n=8．
故通项公式为 T_r+1=•，令 =0，自然数r无解，故展开式中没有常数项．
令 =1，解得自然数r=6，故有一次项，且一次项为1792x．
（2）①因为q≠1，所以，a_n=1+q+q²+…+q^n-1=．
于是，A_n=++…+ C_nⁿ =[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]
={（2ⁿ-1）-[（1+q）ⁿ-1]}=[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
②∵，∴，
当q充分接近于1时，接近于0，由二项式定理知充分接近于，
所以充分接近，故充分接近，命题得证．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．