本题共有3个小题.第1小题满分4分.第2小题满分6分.第3小题满分8分．对于定义域为的函数.若有常数M.使得对任意的.存在唯一的满足等式.则称M为函数f (x)的“均值． (1)判断0是否为函数≤≤的“均值 .请说明理由, (2)若函数为常数)存在“均值 .求实数a的取值范围, (3)已知函数是单调函数.且其值域为区间I．试探究函数的“� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于定义域为的函数，若有常数M，使得对任意的，存在唯一的满足等式，则称M为函数f (x)的“均值”．

（1）判断0是否为函数≤≤的“均值”，请说明理由；

（2）若函数为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；

（3）已知函数是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．

说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分．

解：（1）对任意的，有，

当且仅当时，有，

故存在唯一，满足， ……………………2分

所以0是函数的“均值”． ……………………4分

(另法：对任意的，有，令，

则，且，

若，且，则有，可得，

故存在唯一，满足， ……………………2分

所以0是函数的“均值”． ……………………4分）

（2）当时，存在“均值”，且“均值”为；…………5分

当时，由存在均值，可知对任意的，

都有唯一的与之对应，从而有单调，

故有或，解得或或， ……………………9分

综上，a的取值范围是或．　　　　　　　　　 ……………………10分

（另法：分四种情形进行讨论）

（3）①当I 或时，函数存在唯一的“均值”．

这时函数的“均值”为；　 …………………12分

②当I为时，函数存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数的“均值”；　　　　　……………………14分

③当I 或或或或或时，

函数不存在“均值”．　　　　　　　　　　　　……………………16分

[评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分]

①当且仅当I形如、其中之一时，函数存在唯一的“均值”．

这时函数的“均值”为；　 ……………………13分

②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数的“均值”；　　　　　……………………16分

③当且仅当I形如、、、、、其中之一时，函数不存在“均值”．　　　　　　　　　　　　　……………………18分

（另法：①当且仅当I为开区间或闭区间时，函数存在唯一的“均值”．这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数； ……………………13分

②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数的“均值”； ……………………16分

③当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时，函数不存在“均值”． ……………………18分）

[评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]

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（1）若，，，求方程在区间内的解集；

（2）若点是过点且法向量为的直线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合. 若恒成立，求实数的最大值；

（3）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.（说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.）

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（3）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.（说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.）