Question

已知方程x²+y²+4x-2y-4=0，则x²+y²的最大值是

14+6

5

．

Answer 1

分析：把已知的方程配方后，得到此方程表示以B为圆心，3为半径的圆，在平面直角坐标系中画出此圆，所求式子即为圆上的点到原点的距离的平方，即要求出圆上的点到原点的最大距离，故连接OB并延长，与圆B交于A点，此时A到原点的距离最大，|AB|为圆B的半径，利用两点间的距离公式求出|OB|的长，根据|AB|+|OB|=|AO|求出|AO|的平方，即为所求式子的最大值．

解答：解：方程x²+y²+4x-2y-4=0变形得：
（x+2）²+（y-1）²=9，
表示圆心B（-2，1），半径为3的圆，
画出相应的图形，如图所示：

连接OB并延长，与圆B交于A点，此时x²+y²的最大值为|AO|²，
又|AO|=|AB|+|BO|=3+

(-2)2+12

=3+

5

，
则|AO|²=（3+

5

）²=14+6

5

，即x²+y²的最大值为14+6

5

．
故答案为：14+6

5

点评：此题考查了圆的标准方程，以及两点间的距离公式，利用了转化及数形结合的数学思想，其中找出适当的A点，根据题意得出所求式子的最大值为|AO|²是解本题的关键．