Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为

2

2

，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

．
（1）求椭圆方程．
（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的离心率和通径长及a²-b²=c²联立求出a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求出弦长，由点到直线距离公式求出原点O到直线l的距离，利用换元法借助于不等式求出面积取最大值时的直线的斜率，从而求出直线被椭圆所截得的弦长．

解答：解：（1）由

c

a

=

2

2

，
又过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

，
得

2b2

a

=

2

，且a²-b²=c²，解得a²=2，b²=1．
所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（2）根据题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由方程组

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，消去y得关于x的方程（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有△＞0，
即64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，得k2＞

3

2

由根与系数的关系得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

故|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

16k2-24

1+2k2

1+k2

又因为原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

，故△OAB的面积S=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 × 2k2-3

1+2k2

令t=

2k2-3

＞0，则2k²=t²+3
所以S△AOB=

2 2 t

t2+4

≤

2

2

，当且仅当t=2时等号成立，
即k=±

14

2

时，|AB|=

3

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合题，解答的关键是利用根与系数关系得到弦长，代入面积公式后借助于基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．