Question

{

a

，

b

，

c

}=是空间向量的一个基底，设

p

=

a

+

b

，

q

=

b

+

c

，

r

=

c

+

a

，给出下列向量组：①{

a

，

b

，

p

，②{

b

，

c

，

r

}，③{

p

，

q

，

r

}，④{

p

，

q

，

a

+

b

+

c

}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（　　）组．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由题设条件知，本题研究空间向量基底，可以作为空间向量基底的向量组需要满足不共线，即其中一个向量不能用另两个向量的线性组合表示出来，

解答：解：∵{

a

，

b

，

c

}=是空间向量的一个基底，设

p

=

a

+

b

，

q

=

b

+

c

，

r

=

c

+

a

，
①{

a

，

b

，

p

}，不可以作为基底，因为

p

=

a

+

b

，
②{

b

，

c

，

r

}，可以作为空间向量的基底，因为三向量不共面．
③{

p

，

q

，

r

}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面；
④{

p

，

q

，

a

+

b

+

c

}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面．
综上②③④是正确的
故选C

点评：本题考查空间向量的基本定理及其意义，解题的关键是熟练掌握空间向量基本定理意义，对空间向量基底的概念理解领会，掌握向量组可作为基底的条件．