Question

（江西卷理20文22）如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．

（1）．求证：⊥平面；

（2）．求二面角的大小；

Answer 1

解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，

则∥平面，所以∥。

又是的中点，所以⊥，则⊥。

因为⊥，⊥，

所以⊥面，则⊥，因此⊥面。

（2）作⊥于，连。因为⊥平面，

根据三垂线定理知，⊥，就是二面角的平面角。

作⊥于，则∥，则是的中点，则。

设，由得，，解得，

在中，，则，。

所以，故二面角为。

解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

所以

所以所以平面

由∥得∥，故：平面

(2)由已知设

则

由与共线得:存在有得

 

同理:

设是平面的一个法向量,

则令得 

又是平面的一个法量

所以二面角的大小为

（3）由（2）知，，，平面的一个法向量为。

则。则点到平面的距离为