Question

某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x-

x2

2

（万元）（0≤x≤5）．其中x是产品售出的数量（单位：百台）
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？

Answer 1

分析：（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，由题意，当x≤5时，产品能够全部售出，当x＞5时，只能销售500台，由此能把利润表示为年产量的函数．
（2）当0≤x≤5时，y=-

1

2

x2 +4.75x-0.5，当x=-

b

2a

=4.75（百台）时，y_max=10.78125（万元）；当x＞5（百台）时，y＜12-0.25×5=10.75（万元）．由此能求出年产量是多少时，工厂所得利润最大．

解答：解：（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，
由题意，当x≤5时，产品能够全部售出，当x＞5时，只能销售500台，所以y=

5x- 1 2 x2-(0.5+0.25x)，0≤x≤5 5×5- 1 2 ×52-(0.5+0.25x)，x＞5

，
整理，得y=

- 1 2 x2+4.75x-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

，
（2）当0≤x≤5时，
y=-

1

2

x2 +4.75x-0.5，
当x=-

b

2a

=4.75（百台）时，
y_max=10.78125（万元）；
当x＞5（百台）时，
y＜12-0.25×5=10.75（万元）．
综上所述，当生产475台时，工厂所得利润最大．

点评：本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意二次函数性质的灵活运用．