Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点E，CB与CB₁交于点F，
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角B-EF-C的大小（结果用反三角函数值表示）。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD， 则AC是A1C在底面ABCD的射影， ∵AC⊥BD， ∴A1C⊥BD，同理A1C⊥DC1， 又BD∩DC1=D， ∴A1C⊥平面BDC1。 （Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH， ， ∴BH⊥EF，同理CH⊥EF， ∴∠BHC是二面角B-EF-C的平面角， 又E、F分别是AC、B1C的中点， ∴EF， ∴△BEF与△CEF是两个全等的正三角形， 故， 于是在△BCH中，由余弦定理， 得， ∴， 故二面角B-EF-C的大小为。