Question

已知三个正整数2a，1，a²+3按某种顺序排列成等差数列．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若等差数列{a_n}的首项和公差都为a，等比数列{b_n}的首项和公比都为a，数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，且，求满足条件的正整数n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a＞0，知a²+3=a²+1+2≥2a+2＞2a，由此结合题设条件能求出a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2+（n-1）×2=2n，，，由此利用，能求出n的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，∴a²+3=a²+1+2≥2a+2＞2a．…（2分）
①若三个数1，2a，a²+3依次成等差数列，
则有4a=a²+4解得a=2，符合题意；（4分）
②若三个数2a，1，a²+3依次成等差数列，
则有2=2a+a²+3解得a=-1，由a为正数不符合题意
∴a=2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2+（n-1）×2=2n，
…（8分），
…（10分）
∵，
∴2＞n（n+1）-108，即n（n+1）＜110，…（11分）
故n的最大值为9．…（12分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查正整数n的最大值的求法．具体涉及到等差数列的性质、等比数列的性质、等价转化思想的应用，解题时要认真审题，仔细解答．