Question

如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=1，SB=

3

．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中SD垂直于正方形ABCD所在的平面，我们可得BC⊥CD，进而由面面垂直的性质得到BC⊥平面SDC，再由线面垂直的性质可得BC⊥SC；
（2）取SB，CD，BC的中点分别为P，Q，R，连接MP，PQ，QR，PR，由三角形中位线定理可得DM∥PQ，PR∥SC，我们可得∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角，解三角形RPQ即可得到答案．

解答：（1）证明：

SD⊥平面ABCD SD?平面SDC

⇒

平面ABCD⊥平面SDC BC⊥CD

⇒BC⊥平面SDC
所以，BC⊥SC
（2）取SB，CD，BC的中点分别为P，Q，R，连接MP，PQ，QR，PR
则PM

∥ .

.

1

2

AB

∥ .

.

DR⇒DM∥PQ，又PR

∥ .

.

1

2

SC
所以∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角
计算易得∠RPQ=60°，即异面直线DM，SC所成角为60°

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是熟练掌握线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的转化关系，（2）中构造出∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角，是解答本题的关键．