Question

如图，椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心为M（0，r）（b＞r＞0）．
（1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率．
（2）直线y=k₁x交椭圆于两点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0）；直线y=k₂x交椭圆于两点G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．
求证：

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

．
（3）对于（2）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q．
求证：|OP|=|OQ|．
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

Answer 1

分析：（1）如图可知椭圆的顶点坐标，根据椭圆的性质可分别得出椭圆的长半轴和短半轴，进而得到椭圆的方程．再根据椭圆中a，b，c的关系求得c，进而可得椭圆的焦点和离心率．
（2）将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程，整理后根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，两式相除可得

r2-b2

2k1r

=

x1x2

x1+x2

，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k1r

，整理后进而可得

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

．
（3）设点P（p，0），点Q（q，0），根据C，P，H共线，得

x1- p

x4-p

=

k2x1

k2x4

，求得p；同样的方法求得q，由

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

变形后即可证明所以|p|=|q|，原式得证．

解答：解：（1）如图可知椭圆的方程为

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1
焦点坐标为F1（- 

a2-b2

，r），F2（

a2-b2

，r）
离心率e=

a2-b2

a

（2）将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程，
得b²x²+a²（k₁x-r）²=a²b²，
整理得（b²+a²k₁²）x₂-2k¹a²rx+（a²r²-a²b²）=0．
根据韦达定理，得 x₁+x₂=

2k1a2r

b2+a2 k 1 2

x₁x₂=

a2r2-a2b2

b2+a2 k 2 1

所以

x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2k1r

①
将直线GH的方程y=k₂x代入椭圆方程，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k1r

②
由①，②得

k1x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2 r

=

k2x3x4

x3+x4

所以结论成立．

（3）设点P（p，0），点Q（q，0）．
由C，P，H共线，得

x1- p

x4-p

=

k2x1

k2x4

解得p=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

由D，Q，G共线，同理可得q=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

由

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

变形得
-

x2x3

k1x2-k2x3

=

x3x4

k1x1-k2x4

即-

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

所以|p|=|q|，
即|OP|=|OQ|．

点评：本题主要考查了椭圆的方程和直线与椭圆的关系．考查了学生分析问题和综合运用知识的能力．是高考题出题的常用模式．