Question

给定锐角三角形PBC，．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O. 过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：；

（2）若 ，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．

Answer 1

见解析

解析:

（1）设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，则

，

又OQMR是平行四边形，所以

，

由题设A，B，C，D四点共圆，所以

，

于是  ，        图1

  所以，

故  ，所以  EM＝FM，同理可得  EN＝FN，

所以  ．

（2）答案是否定的．

当AD∥BC时，由于，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有，证明如下：

如图2所示，设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，则

，

所以                        ．                          ①

又，所以

．                          ②

而AD∥BC，所以

，                          ③

由①，②，③得             ．

因为      ，

      ，

即                         ，

所以                       ～，

故                    （由②）．

同理可得，                ，

所以                         ，

从而                   ．