Question

设抛物线y²=8x，O为坐标原点，点A，B是抛物线上的点，
（1）如果OA、OB的斜率分别为，-2，求直线AB与x轴的交点坐标；
（2）如果OA⊥OB，求证：直线AB必过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

解：（1）直线OA：代入y²=8x解得A（32，16）
直线OB：y=-2x代入y²=8x解得B（2，-4）
∴AB方程为：令y=0得x=8
∴直-线AB与x轴的交点为N（8，0）
（2）设AB方程为：y=kx+b，（k存在）
由消去x得：ky²-8y+8b=0，
（显然k≠0）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0即
得y₁y₂=-64
∴即b=-8k
∴AB方程为：y=kx-8k=k（x-8）
∴恒过定点N（8，0）
当k不存在时容易验证AB方程也过定点N（8，0）
分析：（1）当OA、OB的斜率分别为，-2时，可求出OA、OB的方程，代入抛物线y²=8x中，可求出A，B坐标，进而得出直线AB的方程，再令方程中y=0，就可求直线AB与x轴的交点坐标．
（2）如果OA⊥OB，则OA，OB斜率都存在且互为负倒数，可设出其中一个斜率为k，则另一个斜率为-，这样，设出两直线方程，分别于抛物线方程联立，解出A，B坐标，再求直线AB方程，看是否经过定点．
点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，掌握其中设而不求的思想．