Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n
（1）求证：{a_n}是等差数列
（2）求满足100＜a_n＜200的{a_n}中的所有项的和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，求出a_n=2n+1，再由a_n+1-a_n=2，能证明{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列．
（2）由a_n=2n+1，100＜a_n＜200，n∈N^*，得50≤n≤99，从而满足100＜a_n＜200的{a_n}中的所有项的和：S=S₉₉-S₄₉，由此利用等差数列的前n项和公式能求出结果．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n，
∴a₁=S₁=1+2=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=2n+1，
∵a_n+1-a_n=[2（n+1）+1]-（2n+1）=2，
∴{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列．
（2）解：∵a_n=2n+1，∴由100＜a_n＜200，得：
100＜2n+1＜200，解得49.5＜n＜99.5，
∵n∈N^*，∴50≤n≤99，
∴满足100＜a_n＜200的{a_n}中的所有项的和：
S=S₉₉-S₄₉=（99×3+

99×98

2

×2）-（49×3-

49×48

2

×2）=7500．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列中n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．