Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）证明存在k∈N^*，使得对任意n∈N^*均成立．

Answer 1

解：（I）解法一：a₂=2λ+λ²+（2-λ）×2=λ²+2²，a₃=λ（λ²+2²）+λ³+（2-λ）×2²=2λ³+2³，
a₄=λ（2λ³+2³）+λ⁴+（2-λ）×2³=3λ⁴+2⁴．
由此可猜想出数列{a_n}的通项公式为a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
以下用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a₁=2，等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，即a_k=（k-1）λ^k+2^k，
那么，a_k+1=λa_k+λ^k+1+（2-λ）2^k=λ（k-1）λ^k+λ2^k+λ^k+1+2^k+1-λ2^k=[（k+1）-1]λ^k+1+2^k+1．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ对任何n∈N^*都成立．
解法二：由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），λ＞0，可得，
所以为等数列，其公差为1，首项为0．故，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（II）解：设T_n=λ²+2λ³+3λ⁴++（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ①
λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵++（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．②
当λ≠1时，①式减去②式，得（1-λ）T_n=λ²+λ³++λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹=，
这时数列{a_n}的前n项和
当λ=1时，这时数列{a_n}的前n项和
（III）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．下面证明：③
由λ＞0知a_n＞0．要使③式成立，只要2a_n+1＜（λ²+4）a_n（n≥2）．因为（λ²+4）a_n=（λ²+4）（n-1）λⁿ+（λ²+4）2ⁿ＞4λ．（n-1）λⁿ+4×2ⁿ=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2a_n+1，n＞2．
所以③式成立．因此，存在k=1，使得对任意n∈N^*均成立．
分析：（I）解法一：由题设条件可猜想出数列{a_n}的通项公式为a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．然后用数学归纳法证明．
解法二：由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），λ＞0，可知为等数列，其公差为1，首项为0．由此可求出数列{a_n}的通项公式．
（II）设T_n=λ²+2λ³+3λ⁴++（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ，λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵++（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．然后用错位相减法进行求解．（III）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．然后用分析法进行证明．
点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．