Question

已知sin(α+

π

4

)=

7 2

10

，α∈(0，

π

4

)．求（1）cosα；（2）cos2α．

Answer 1

分析：（1）由α的范围求出α+

π

4

的范围，由sin（α+

π

4

）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+

π

4

）的值，然后把所求式子的角度α变形为（α+

π

4

）-

π

4

，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角三角函数值化简后，把各自的值代入即可求出cosα的值；
（2）把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式变形后，把第一问求出的cosα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵sin(α+

π

4

)=

7 2

10

，α+

π

4

∈(0，

π

2

)，
∴cos(α+

π

4

)=

2

10

，
则cosα=cos[（α+

π

4

）-

π

4

]
=cos（α+

π

4

）cos

π

4

+sin（α+

π

4

）sin

π

4

=

2

10

×

2

2

+

7 2

10

×

2

2

=

4

5

；
（2）∵cosα=

4

5

，
∴cos2α=2cos²α-1=

7

25

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换及角度的范围．