Question

已知定义在R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b为实常数）．
（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

分析：（I）证明不是奇函数，可用特殊值法；
（II）用奇函数定义f（-x）=-f（x），再用待定系数法求解；
（III）即证明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（2分）
（Ⅱ）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

对任意x∈R恒成立．（4分）
化简整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0对任意x∈R恒成立．（6分）
∴

2a-b=0 2ab-4=0

，∴

a=-1 b=-2

（舍）或

a=1 b=2

，∴

a=1 b=2

．（8分）
另解：∵f（x）是定义在R的奇函数，∴

f(0)=0 f(-1)+f(1)=0

，，
∴

a=1 b=2

，验证满足，∴

a=1 b=2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，从而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；（12分）
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

＞

1

2

对任何实数c成立；
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．（14分）

点评：本题主要考查奇函数的应用及恒成立问题．