Question

已知双曲线的两个焦点为

   在曲线C上.

  （Ⅰ）求双曲线C的方程；

  （Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

Answer 1

本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.

 (Ⅰ)解法1：依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为（0＜a²＜4），

将点（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，

故所求双曲线方程为

解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.

2a=|PF₁|－|PF₂|=

∴a²=2，b²=c²－a²=2.

∴双曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.①

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

∴

∴k∈(－)∪(-1,1)∪(1,).②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±,

满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和

解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                                          ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈(－)∪(-1,1)∪(1,).                                                       ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得

|x₁－x₂|＝.     ③

当E、F在同一支上时（如图1所示），

S_ΔOEF＝|S_ΔOQF－S_ΔOQE|=；

当E、F在不同支上时（如图2所示），

S_ΔOEF＝S_ΔOQF＋S_ΔOQE＝

综上得S_ΔOEF＝，于是

由|OQ|＝2及③式，得S_ΔOEF＝.

若S_ΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②.

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和y=