Question

设定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R均满足：f（x）+f（y）=2f（

x+y

2

），且f（0）=0，当x＞0时，f（x）＞0．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在R上的单调性；
（3）若f（1）=1，且不等式f（-k•2^x）+f（9+4^x）≥2对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由于f（0）=0，令y=-x即可判断f（x）的奇偶性；
（2）设x₁＜x₂，依题意可证f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=2f（

x2-x1

2

）＞0，从而可判断f（x）在R上为单调递增函数；
（3）依题意得，f（

9+4x-1

2

）≥f（

1+k•2x

2

），又f（x）在R上为单调递增函数，有

9+4x-1

2

≥

1+k•2x

2

，即有k≤2^x+

7

2x

对任意x∈[0，+∞）恒成立，利用基本不等式可求得h（x）=2^x+

7

2x

的最小值，从而得到答案．

解答： 解：（1）f（x）为奇函数．下面给出证明：
∵f（0）=0，f（x）+f（y）=2f（

x+y

2

），
∴令y=-x得：f（x）+f（-x）=2f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）f（x）在R上为单调递增函数．
理由如下：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=2f（

x2-x1

2

），
∵x＞0时，f（x）＞0，而x₂-x₁＞0，

x2-x1

2

＞0，
∴2f（

x2-x1

2

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上为单调递增函数；
（3）∵f（1）=1，且不等式f（-k•2^x）+f（9+4^x）≥2对任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴f（9+4^x）-f（1）≥f（1）-f（-k•2^x）=f（1）+f（k•2^x），
即f（9+4^x）+f（-1）≥f（1）+f（k•2^x），
即2f（

9+4x-1

2

）≥2f（

1+k•2x

2

），
∴f（

9+4x-1

2

）≥f（

1+k•2x

2

），
又f（x）在R上为单调递增函数，
∴

9+4x-1

2

≥

1+k•2x

2

，
∴k≤2^x+

7

2x

对任意x∈[0，+∞）恒成立，
令h（x）=2^x+

7

2x

，则h（x）≥2

7

（当且仅当x=log₄7时取等号），
∴h（x）_min=2

7

，
∴k≤2

7

．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性与单调性的确定，考查等价转化思想与综合运算能力，考查基本不等式的应用，属于难题．