Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中点，点N在AA₁上，AN=．
（1）求BC₁与侧面AC C₁ A₁所成角的正弦值；
（2）证明：MN⊥B C₁；
（3）求二面角C-C₁B-M的平面角的正弦值，若在△A₁B₁C₁中，，，，求x+y的值．

Answer 1

（1）解：在等边三角形ABC中，M为AC中点，BM⊥AC，
在正三棱柱中，C₁ C⊥面ABC，BM?面ABC，∴C₁ C⊥BM，
又 C₁ C∩AC=C，BM?面ABC，
则BM⊥面 A₁ C₁CA，
∠M C₁ B为 B C₁与面 A₁ C₁CA所成角．
在 Rt△C₁CB中，B C₁=，在等边三角形ABC中，BM=，
则在 R_t△M C₁ B中，sin∠M C₁ B=．
（2）连接 N C₁，在 Rt△AMN中，由勾股定理可得=，
同理在 Rt△M C₁ C中，，在 R_t△A₁ C₁ N中，，
∴，则NM⊥M C₁，
又BM⊥面 A₁ C₁CA，MN?面 A₁ C₁CA，则BM⊥MN，
又 M C₁∩MB=M，∴MN⊥面 M C₁ B，
又 B C₁?面 M C₁ B，则MN⊥B C₁．
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，此时由于M为AC中点，则DE=EC，=，且ME⊥BC，
在正三棱柱中，C₁ C⊥面ABC，ME?面ABC，则 C₁ C⊥ME，BC∩C₁C=C，BC，C₁ C均?面BC C₁，ME⊥面BC C₁，
作EH⊥B C₁，连接MH，由三垂线定理得 B C₁⊥MH，∴∠MHE为二面角C-C₁B-M的平面角．
在△MB C₁中，由，即，
在 Rt△MEH中，．
设=，
==．
∵．
∴+，
化为=，
∴，解得．
∴====．
∵，
∴．
分析：（1）由等边三角形ABC的性质可得BM⊥AC，由正三棱柱的性质可得 C₁ C⊥BM，利用线面垂直的判定定理可得BM⊥侧面ACC₁A₁，于是∠BC₁M是所求的线面角；
（2）利用勾股定理和逆定理即可证明MN⊥MC₁，再利用（1）可得BM⊥MN，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，可得ME⊥BC．作EH⊥B C₁，连接MH，利用正三棱柱的性质和三垂线定理得 B C₁⊥MH，∴∠MHE为二面角C-C₁B-M的平面角．
利用向量共线定理找出与的关系，再利用向量的运算法则及已知条件即可得出．
点评：熟练掌握等边三角形的性质、正三棱柱的性质、线面垂直的判定定理、线面角的定义、勾股定理和逆定理、三垂线定理、二面角定义和作法、向量共线定理、向量的运算法则是解题的关键．